Różne oblicza matematyki. Matematyka z historycznego, ontogenetycznego i filozoficznego punktu widzenia

Matematyka jest jedna, ale ogromnie różnorodna. Ta główna teza książki przedstawiona jest na tle ogólnego rozwoju kultury. Prawie połowa tekstu dotyczy dziejów arytmetyki (z początkami algebry) i geometrii, od najdawniejszych czasów po koniec XIX wieku. Narracja historyczna jest zestawiana z ontogenezą, z kształtowaniem się struktur matematyki u pojedynczych ludzi (zaczynającym się w okresie niemowlęctwa). W tle stale ujawniają się kwestie filozoficzne, w tym platonistyczna tendencyjność: przekonanie matematyków o odwieczności i niezmienności matematyki wpływa na przypisywanie dawnym uczonym współczesnych pojęć i rozumowań. Oparcie matematyki XX wieku na pojęciach typu „zbiór”, „element” gruntownie zmieniło język twierdzeń i dowodów, a zarazem całe myślenie matematyczne. Stało się to tak naturalne, że nie można się z tego wyzwolić. Nie da się już w pełni wniknąć w dawne ujmowanie matematyki; im dalej wstecz, tym jest to trudniejsze. Wiele ze stale powtarzanych opowieści to późniejsze legendy; niektóre są tu krytycznie omówione. Mottem książki, zaczerpniętym z Platona, jest zdziwienie, niedowierzanie naszych przodków, gdy odkrywali niespodziewane, paradoksalne związki. Szczególnie ważne były przełomy pojęciowe, przejścia na wyższy poziom abstrakcji, wcześniej nieosiągalny. Zmagania z piątym postulatem Euklidesa trwały dwa tysiące lat, a kontrowersje wywołane geometrią nieeuklidesową zmieniły świadomość tego, czym jest geometria i jaki jest jej związek ze światem rzeczywistym.

Spis treści

Wstęp / 11

• Cel i adresat książki / 15
• Matematyka czysta, matematyka stosowana / 17
• Kwestia paralelizmu filogeneza–ontogeneza w matematyce / 20
• Interpretowanie dawnej wiedzy matematycznej / 25
• Matematyka a humanistyka / 32
• Struktura i zakres książki / 35
• Wykorzystane publikacje / 37

Część 1. Przełomy pojęciowe w rozwoju historycznym matematyki

• Rozdział 1. Rozwój arytmetyki i początki algebry / 43
  • Narodziny liczenia / 43
  • Historyczny rozwój przedstawiania liczb naturalnych / 47
  • Matematyka egipska i babilońska / 56
  • Źródła wiedzy o matematyce greckiej / 62
  • Arytmetyka pitagorejska / 65
  • Odkrycie niewspółmierności / 76
  • Eudoksos i jego teoria stosunków / 92
  • Osiągnięcia hellenistycznej arytmetyki / 97
  • Rozszerzanie zakresu pojęcia liczby: ułamki / 106
  • Rozszerzanie zakresu pojęcia liczby: zero / 112
  • Rozszerzanie zakresu pojęcia liczby: liczby ujemne i symbolika arytmetyczna / 116
  • Rozszerzanie zakresu pojęcia liczby: liczby rzeczywiste / 125
  • Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych / 135
  • Rozszerzanie zakresu pojęcia liczby: liczby urojone i liczby zespolone / 141
  • Rozszerzanie zakresu pojęcia liczby: kwaterniony i nieprzemienność / 145
  • Początki algebry / 147
  • Zasada indukcji zupełnej w teorii liczb naturalnych / 150
  • Hierarchia struktur arytmetyki / 154
  • Deduktywistyczny styl prezentacji matematyki / 162
• Rozdział 2. Geometria i dedukcja / 165
  • Początki geometrii: kształty, figury, bryły, ornamenty, praktyka miernicza / 165
  • Geneza i rozwój abstrakcyjnego pojęcia przestrzeni / 169
  • Cud grecki: przejście od intuicyjnej wiedzy geometrycznej do systemu aksjomatycznego / 173
  • Wpływ Platona na rozwój geometrii / 180
  • Spór grecki o matematykę czystą (Platon) i stosowaną (Archytas) / 195
  • Wpływ Arystotelesa na rozwój matematyki / 199
  • Elementy Euklidesa / 203
  • Rola diagramów w geometrycznych rozumowaniach Greków / 222
  • Spuścizna Archimedesa w geometrii / 227
  • Historia piątego postulatu Euklidesa / 230
  • Układ współrzędnych i kartezjański przewrót w geometrii / 245
  • Odkrycie geometrii nieeuklidesowej / 252
  • Wpływ Immanuela Kanta na rozwój geometrii / 270
  • Empiryczne aspekty geometrii nieeuklidesowej / 283
  • Powstanie geometrii rzutowej / 288
  • Koncepcyjne podejście Bernharda Riemanna do geometrii / 292
  • Przełom w rozwoju geometrii nieeuklidesowej / 295
  • Orientacja prostej, płaszczyzny i przestrzeni / 300
  • Wyjście poza trzy wymiary w geometrii / 304
  • Zmiana standardu ścisłości aksjomatyki geometrii / 310
  • Narodziny topologii / 330

Część 2. Rozwój matematyczny dziecka

• Rozdział 3. Rozwój pojęć związanych z arytmetyką i początki algebry / 345
  • Początki liczenia u dziecka / 346
  • Pojęciowy i rachunkowy rozwój działań arytmetycznych u dzieci / 361
  • Przejście od arytmetyki do algebry / 370
  • Rozdział 4. Rozwój pojęć związanych z geometrią i przestrzenią / 377
  • Konstruowanie przestrzeni w umyśle dziecka / 378
  • Poziomy myślenia geometrycznego u dzieci wyróżnione przez van Hielów / 384
  • Poziomy myślenia geometrycznego wyróżnione przez Milana Hejnego / 388

Część 3. Uzupełnienia

• Rozdział 5. Dalsze oblicza matematyki / 395
  • Długie wieki zmagań z problemami nieskończoności / 396
  • Problemy rachunku prawdopodobieństwa / 409
  • Matematyka a muzyka / 433
  • Matematyka w architekturze i sztuce / 445
  • Bieguny napięć intelektualnych w matematyce / 453
  • Rola intuicji w rozumowaniach matematycznych / 455
  • Transgresje poznawcze / 458
  • Strukturalistyczne aspekty matematyki / 462
  • Główne kierunki filozofii matematyki XX wieku / 468
  • Reformy edukacyjne w duchu Mathématique Moderne / 491
• Rozdział 6. Dodatki matematyczne / 495
  • Pięć najważniejszych twierdzeń matematyki / 495
  • Pięć odkryć matematycznych, które wzbudziły największe zdziwienie / 502
  • Liczby zespolone / 512
  • Pojęcie grupy i program erlangeński Feliksa Kleina / 517

Zakończenie. Matematyka jest jedna / 519

Bibliografia / 527

Summary

Indeks osób

Zbigniew Semadeni
Matematyk i fizyk, profesor Uniwersytetu Warszawskiego. Specjalności: analiza funkcjonalna, teoria kategorii i funktorów, dydaktyka matematyki, filozofia matematyki. Absolwent UAM (fizyka 1955, matematyka 1956), doktorat 1959, habilitacja 1963, profesor zwyczajny 1976. W latach 1962–1986 pracował w Instytucie Matematycznym PAN, a w latach 1986–2004 w Instytucie Matematyki UW. Profesor wizytujący w University of Washington, Seattle (rok akad. 1961–1962), w York University, Toronto (rok akad. 1982–1983), w University of Sydney w Australii (trymestr w roku 1984) i w University of California w Davis (rok akad. 1989–1990). Członek Executive Committee of the International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) 1979–1982, wiceprezydent ICMI 1983–1986. Ważniejsze publikacje: Banach spaces of continuous functions (PWN, 1971), Wstęp do teorii kategorii i funktorów (PWN, 1978, wspólnie z Antonim Wiwegerem), podręczniki matematyki do klas I–III szkoły podstawowej (WSiP 1990–2003) i książki dla nauczycieli.